Gödel, la lógica y la paradoja del barbero

La idea de la evolución como una especie de progreso lineal alimentó la idea positivista de que todo proceso autónomo, dejado a su decursar propio, «progresaría» de algún estadio «inferior» a otro «superior».

Visto así, lo dialéctico se toma no circunscrito al movimiento como necesidad, sino se da un paso más drástico y se califica a ese movimiento como obligatoriamente «ascendente». Para el siglo XIX, la prevalencia de esa idea era casi inevitable, dada la premisa determinista que todas las ciencias naturales parecían gritar a los cuatro vientos.

Hoy sabemos más que eso. La propia noción de «progreso» ya no la vemos como que califica los procesos naturales. Como seres conscientes nos aferramos a la idea de la salvación, al menos colectiva, al menos como género. 

Cuando menos, la idea de la espiral es controvertida, sigue asumiendo, por más que acepte fintas y gambetos, un sentido como tendencia de ascenso.

Asociado a lo primero está el mito que nos ha inculcado hasta el tuétano la racionalidad occidental, hija del ilustracionismo, hijo a su vez de la religión abrahámica, de que el ser humano puede lograr todo lo que se propone, a contrapelo de las leyes de la naturaleza.

Nos lo repiten una y otra vez desde nuestros padres, hasta los vicios tenidos por virtud. Nos lo repiten obras de ciencia ficción presentándonos como posibles escenarios que tal vez sean inaccesibles por más que lo intentemos.

Tomado de Hegel, fue Marx, quizá, el primero que desterró radicalmente ese mito de la racionalidad occidental cuando sentenció que la libertad es la conciencia de la necesidad.

Pero no deja de tener sus ventajas el engaño. Bajo la ilusión de que se puede hacer posible todo lo imaginable, nos proponemos metas, que no por inalcanzables son estériles: nos impulsan. Lo contrario, en forma anímica, solo nos despedaza en el cinismo, y ese sí es árido. Mientras la confrontación con la realidad objetiva no despeje nuestras dudas, que hay que seguir adelante como una forma de navaja de Ockham.

Al británico Bertrand Russell le atraían paradojas como estas dos: he aquí un barbero que pela a todos, y solo a todos, los que no pueden pelarse a sí mismos. ¿Se pela el barbero a sí mismo? Y la segunda: Escribió el mentiroso: estoy mintiendo. ¿Mentía al escribirlo?

Estas paradojas no solo acosaban al elitista de Bertrand, atormentaron a los lógicos a principios del siglo XX. Su punto común es que son autorreferenciales. La afirmación se contiene a ella misma como un caso particular. Las afirmaciones autorreferenciales son un dolor de cabeza.

De esas obsesiones pueden derivarse males mayores si no se les ponen a ser útiles. Y hacerlas útiles para algo se propuso el lógico austríaco Kurt Gödel, coetáneo y amigo de Einstein.

En 1931, Gödel demostró su más famoso teorema, en realidad un teorema y un corolario, con el nombre críptico de Teoremas de la incompletitud. Para entender la idea hay que dar el contexto.

En esos años los matemáticos, incluidos Russell, y algunos de los gigantes vivos de esa disciplina, se habían propuesto derivar las matemáticas de un conjunto finito de axiomas. Un axioma es un supuesto que se toma por cierto, para de un conjunto de ellos derivar sus consecuencias.

«Por dos puntos pasa una recta y solo una recta», es un axioma. Grandes cuerpos de las matemáticas descansan en axiomas. Por ejemplo, otro axioma es decir que: si dos entes son iguales a un tercero, entonces son iguales entre sí.

La aritmética, ese campo de las matemáticas donde aprendemos a sumar, restar, multiplicar números, en particular números naturales como el cero, el uno, el dos…, se basa en un conjunto finito de axiomas.

Por ejemplo, uno de los axiomas es que todo número natural, excepto el 0, tiene un antecesor. Nada más lógico, al 0, le sigue el 1, al 1 el 2, y así sucesivamente. Un segundo postulado dice que el sucesor también es un número natural. Esos dos axiomas son la base de la definición de la suma. Hay otros axiomas.

Russell, Hilbert y otros matemáticos se habían propuesto establecer un grupo de axiomas de los cuales se podría derivar toda la aritmética de los números naturales y de ahí extenderse al resto de las matemáticas. Tarea monumental si hubiese alguna.

Lo que Gödel hizo fue demostrar que esa tarea era imposible. Para ello construyó proposiciones matemáticas que dentro del sistema de axiomas no podían probarse que fueran ciertas, pero tampoco que fueran inciertas.

El toque de genialidad de Gödel fue definir una forma de código, en la cual toda propuesta podía escribirse como un número natural, y hacer que esa propuesta se pudiera aplicar al propio número que la definía. Esas proposiciones eran autorreferenciales, es decir, eran propuestas que hablaban de ellas mismas como la paradoja del barbero.

Las propuestas de Gödel no podían ser probadas, ni descalificadas, usando las propias reglas de los axiomas. Como consecuencia, el sistema definido por los axiomas no era completo y nunca podría serlo.

Pero la genialidad de Gödel es también su mayor vulnerabilidad. La aplicación del teorema solo es posible en sistemas axiomáticos, donde sea posible construir propuestas que hablen de sí mismas. Fuera de ese marco estrecho, el teorema deja de ser válido.

Ahí se van por el caño todos los que han usado los teoremas de Gödel para afirmaciones tremebundas como que el austríaco demostró que hay verdades que no pueden ser probadas. A las matemáticas no les puede importar menos la verdad de nada. La realidad no es un sistema axiomático. La realidad no es aritmetizable.

Y, como demostró el propio Gödel, las propuestas no comprobables en un sistema de axiomas, pueden ser demostradas o refutadas si las vemos desde fuera del sistema.

Lo que Russell intuyó, y Gödel demostró, es que la lógica formal, esa forma abstracta de jugar a las tautologías, no puede ser la única herramienta para explorar el universo. Nada menos, pero tampoco, nada más.